实变函数笔记20250328

第四章 Lebesgue 积分

简单函数 Lebesgue 积分定义

ϕ:E→R\phi: E\rightarrow \R为简单函数，即ϕ=∑k=1nckχEk\phi=\sum_{k=1}^n c_k\chi_{E_k}，则其 Lebesgue 积分定义为

∫Eϕ:=∑k=1nckm(Ek)\int_E\phi:=\sum_{k=1}^nc_km(E_k)

其具有如下性质：

  1. 线性性：∀α,β∈R,⇒∫E(αϕ+βψ)=α∫Eϕ+β∫Eψ\forall\alpha,\beta\in\R,\Rightarrow \int_E(\alpha\phi+\beta\psi)=\alpha\int_E\phi+\beta\int_E\psi
  2. 可加性：E∩F=ϕ,⇒∫E∪Fϕ=∫Eϕ+∫FϕE\cap F=\phi,\Rightarrow \int_{E\cup F}\phi=\int_E\phi+\int_F\phi
  3. 单调性：ϕ≤ψ⇒∫Eϕ≤∫Eψ\phi\leq\psi\Rightarrow\int_E\phi\leq\int_E\psi
  4. 三角不等式：∣∫Eϕ∣≤∫E∣ϕ∣|\int_E\phi|\leq\int_E|\phi|

有界函数 Lebesgue 积分定义

EE 可测，m(E)<∞,f:E→Rm(E)<\infty,f:E\rightarrow\R有界（但不一定可测）则
定义 Lebesgue 下积分 ∫‾Ef:=sup⁡{∫Eϕ; ϕ:E→R\underline{\int}_Ef:=\sup\{\int_E\phi;\ \phi:E\rightarrow\R且为简单函数, a.e. ϕ≤f},\ a.e.\ \phi\leq f\}
定义 Lebesgue 上积分 ∫‾Ef:=inf⁡{∫Eψ; ψ:E→R\overline{\int}_Ef:=\inf\{\int_E\psi;\ \psi:E\rightarrow\R且为简单函数, a.e. ψ≥f},\ a.e.\ \psi\geq f\}
如果∫‾Ef=∫‾Ef\underline{\int}_Ef=\overline{\int}_Ef，则称 ff 是 Lebesgue 可积的，记为∫Ef\int_E f

Riemann 可积与 Lebesgue 可积的关系

f:I=[a,b]→Rf:I=[a,b]\rightarrow\R有界，如果ff Riemann 可积，则ff Lebesgue 可积，且二者相等

∫‾abf(x)dx≤∫‾If≤∫‾If≤∫‾abf(x)dx\underline{\int}_a^bf(x)\mathrm{d}x\leq\underline{\int}_If\leq\overline{\int}_If\leq\overline{\int}_a^bf(x)\mathrm{d}x

定理

ff 有界可测，则ff可积

一致收敛定理

{fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^{\infty} 有界可测且fnf_n在EE上一致收敛于ff，则ff可积且∫Ef=lim⁡n→∞∫Efn\int_Ef=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_Ef_n

有界收敛定理

{fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^{\infty} 可测且一致有界，fnf_n 点点收敛于 ff，则 ff 可积且∫Ef=lim⁡n→∞∫Efn\int_Ef=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_Ef_n

非负可测函数 Lebesgue 积分定义

f:E→Rˉf:E\rightarrow\bar\R（不要求m(E)<∞m(E)<\infty）
∫Ef:=sup⁡{∫Eh; h:E→R\int_Ef:=\sup\{\int_Eh;\ h:E\rightarrow\R有界可测且h∈[0,f]},m({x∈E; h(x)≠0})<∞h\in[0,f]\},m(\{x\in E;\ h(x)\not=0\})<\infty
如果∫Ef<∞\int_Ef<\infty则称ff在EE上可积

Chebychev 不等式

f:E→Rˉf:E\rightarrow\bar\R 非负可测，则∀λ>0,m(Eλ:={x∈E,f(x)≥λ})≤1λ∫Ef\forall \lambda>0,m(E_\lambda:=\{x\in E,f(x)\geq\lambda\})\leq\frac{1}{\lambda}\int_Ef

命题

f:E→Rf:E\rightarrow\R非负可测，则∫Ef=0⇔f=0 a.e.\int_Ef=0\Leftrightarrow f=0\ a.e.

命题

f,g:E→Rˉf,g:E\rightarrow\bar\R非负可测，则上文线性性，可加性，单调性均成立。

Fatou 引理

{fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^{\infty} 非负可测，fn a.e.f_n\ a.e. 收敛于 ff，则∫Ef≤lim inf⁡∫Efn\int_Ef\leq\liminf\int_Ef_n

推论

{fn}\{f_n\}非负可测，0≤fn≤f0\leq f_n\leq f，fn a.e.f_n\ a.e. 收敛于ff，则∫Ef=lim⁡n→∞∫Efn\int_Ef=\lim_{n\rightarrow \infty}\int_Ef_n

单调收敛定理

{fn}\{f_n\}为非负可测渐升列，fn a.e.f_n\ a.e. 收敛于ff，则∫Ef=lim⁡n→∞∫Efn\int_Ef=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_Ef_n

推论

设{un}\{u_n\} 非负可测，∑n=1∞un=f a.e\sum_{n=1}^{\infty}u_n=f\ a.e 则有 ∫Ef=∑n=1∞∫Eun\int_Ef=\sum_{n=1}^{\infty}\int_Eu_n

推论（Fatou 引理）

{fn}\{f_n\}非负可测，则∫Elim inf⁡fn≤lim inf⁡∫Efn\int_E\liminf f_n\leq\liminf\int_E f_n

命题

ff 非负可测，ff可积⇒f a.e.\Rightarrow f\ a.e.有限

Levi 引理

{fn}\{f_n\}非负可测渐升列，{∫Efn}n=1∞\{\int_Ef_n\}_{n=1}^{\infty} 有界，则fnf_n点点收敛于一非负可积函数ff，f a.e.f\ a.e. 有限且∫Ef=lim⁡n→∞∫Efn\int_Ef=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_Ef_n