实变函数笔记20250321

特征函数定义

\(A\subseteq \R\)其上的特征函数\(\chi_A(x)\)定义为\(\chi_A(x)= \begin{cases} 1,&x\in A\\ 0,&x\not\in A \end{cases}\)

\(\chi_A(x)\)可测\(\Leftrightarrow A\) 可测

简单函数定义

\(f:E\rightarrow \R\) 可测，如果\(f\)仅取有限个值，则称其为简单函数

\(f=\sum_{k=1}^nc_k\chi_{E_k},\ E_k=\{x\in E;f(x)=c_k\}\)且可测

简单函数逼近引理

\(f:E\rightarrow\R\) 有界可测，则\(\forall \epsilon>0,\exists\)简单函数\(\phi_\epsilon,\psi_\epsilon:E\rightarrow\R,\ s.t.\ \phi_\epsilon\leq f\leq\psi_\epsilon,\ 0<\psi_\epsilon-\phi_\epsilon<\epsilon\)

简单函数逼近定理

\(f:E\rightarrow \bar\R\)可测\(\Leftrightarrow \exists\{\phi_n\}_{n=1}^{\infty}\)简单函数列点点收敛于\(f\)，且\(|\phi_n|<|f|\)

若\(f\geq 0\)则可取\(\phi_n\)为升列

Littlewood 三原理

1. 可测集“差不多”是有限个区间的并（参见笔记三对称差定义下方定理）
2. 可测函数“差不多”是连续函数（参见下文 Lusin 定理）
3. 点点收敛（几乎处处收敛）“差不多”是一致收敛（参见下文 Egorov 定理）

引理

设\(E\subset \R\)为可测集，\(m(E)<\infty\)
设\(E\)上的函数族\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)可测，\(f:E\rightarrow\R\)，\(f_n\)点点收敛于\(f\)
则\(\eta,\delta>0,\exists\)可测集\(A\subseteq E\)和\(n\in \N^+\ s.t.\ m(E\setminus A)<\delta\)且\(\forall n\geq N\)和\(x\in A,\ |f_n(x)-f(x)|<\eta\)

Egorov 定理

设 \(E\) 可测，\(m(E)<\infty\)
设\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)可测，\(f:E\rightarrow\R\)可测，\(f_n\)点点收敛于\(f\)
则\(\forall \epsilon>0,\exists\)闭集\(F\subseteq E,\ s.t.\ m(E\setminus F)<\epsilon\)，且\(f_n\)在\(F\)上一致收敛于\(f\)

1. 点点收敛 \(\rightsquigarrow\ a.e.\) 收敛
2. \(\forall \epsilon>0, \exists F_\epsilon\ s.t.\ m(E\setminus F_e)<\epsilon\not\leftrightsquigarrow \exists f\subset E,\ s.t.\ m(E\setminus F)=0\)
3. \(m(E)<\infty\)不可去掉
4. \(m(E)=\infty\)时，\(\forall M>0,\ \exists\)闭集\(F_M\subseteq E,\ s.t.\ m(F_M)>M\)且\(f_n|_{F_M}\)一致收敛于\(f|_{F_M}\)

Lusin 定理

\(f:E\rightarrow \R\)可测，则\(\forall \epsilon>0,\exists\)闭集\(F\subseteq E\)和连续函数\(g:\R\rightarrow \R\ s.t.\ m(E\setminus F)<\epsilon\)且\(g|_F\equiv f|_F\)