实变函数笔记20250314
推论
\(\exists A,B\subseteq \R, A\cap B=\emptyset,\ s.t.\ m^*(A\cup B)<m^*(A)+m^*(B)\)
Cantor-Lebesgue 函数
Cantor-Lebesgue 函数\(\phi(x)\)为\([0,1]\rightarrow[0,1]\)的单调满射，注意到\(a.e.\ \phi'(x)=0\)
\(\psi(x)=\frac{1}{2}(\phi(x)+x)\) 为 \([0,1]\rightarrow[0,1]\) 的连续严格单调递增的双射函数，易知 \(\psi^{-1}(x)\) 存在
命题
\(\psi(\mathcal C)\)可测且\(m(\psi(\mathcal C))=\frac{1}{2}\)
非 Borel 集可测集的存在性
已知 \(m(\psi(\mathcal C))=\frac{1}{2}>0\)
由 Vitali 定理知\(\exists\) 不可测集 \(E\subset \psi(\mathcal C)\)
考虑 \(\psi^{-1}(E)\subset \mathcal C\)
由 \(m(\mathcal C)=0\) 推知 \(m(\psi^{-1}(E))=0\)，即 \(\psi^{-1}(E)\) 为零测集
故 \(\psi^{-1}(E)\) 可测
命题
综上，有 Borel 集合\(\mathcal B\subsetneq\) 可测集 \(\mathcal M\subsetneq 2^\R\)
第三章 可测函数
可测函数定义
\(E\)可测（此条件后文默认），\(f:E\rightarrow \bar\R:=\R\cup\{-\infty,+\infty\}\)，则下述命题等价：
- \(\forall c\in\R,\{x\in E; f(x)>C\}\)可测
- \(\forall c\in\R,\{x\in E; f(x)\geq C\}\)可测
- \(\forall c\in\R,\{x\in E; f(x)<C\}\)可测
- \(\forall c\in\R,\{x\in E; f(x)\leq C\}\)可测
若上述命题成立，则将\(f\)称为(Lebesgue)可测
\(f\) 可测 \(\Rightarrow\forall c\in\bar\R,\ \{x\in E;\ f(x)=c\}\)可测
命题
\(f:E\rightarrow \R\) 可测 \(\Rightarrow \forall U\subseteq \R\)为开集，\(f^{-1}(U)\)可测
推论
- 连续函数均可测
-
设\(f:E\rightarrow \R\)可测，\(g:F\rightarrow \R\)连续，\(f\supseteq f(E)\)，则有\(g\circ f:E\rightarrow\R\) 可测
特别地，\(f\)可测\(\rightarrow \frac{1}{f}\)可测，\(\forall p\in (0,+\infty),|f|^p\)可测
命题
- \(f\) 可测，\(a.e.\ g=f\)，则\(g\)可测
- 设\(E=E_1\cup E_2\)，则\(f\)可测\(\Leftrightarrow f|_{E_1},f|_{E_2}\)均可测
注意
\(f\)处处有限 \(\not=f\)有界
命题
设定义域相同的两函数\(f,g\)均可测且\(a.e.\) 有限
- \(\forall \alpha,\beta\in\R,\ \alpha f+\beta g\)可测
- \(f(x)g(x)\) 可测
命题
\(\{f_i\}_{i=1}^n\)可测，则有\(\max\{f_1,\dots,f_n\},\min\{f_1,\dots,f_n\}\)均可测
定义\(f^+:=\max\{f,0\};f^-:=\max\{-f,0\};\)
则有
- \(f=f^+-f^-\)
- \(f\)可测\(\Leftrightarrow f^+,f^-\)均可测
- \(|f|=f^++f^-\)；\(f\)可测\(\Rightarrow |f|\)可测
命题
\(\{f_i\}_{i=1}^{\infty}\) 可测，则\(\sup f_i,\inf f_i,\limsup f_i,\liminf f_i\)均可测
命题
\(\{f_i\}_{i=1}^{\infty}\) 可测，\(f_i\)几乎处处收敛为\(f\)（\(f_i\rightarrow f\ a.e.\)）则 \(f\) 可测
几乎处处收敛：在除去一个零测集上点点收敛