实变函数笔记20250307

命题

所有的可测集形成一个\(\sigma-\)代数，称为Lebesgue代数，记作m，且真包含Borel代数

命题

\(\forall A, E\subset A, E\) 可测\(, m^*(E)<\infty,\) 则有\(m^*(A\setminus E)=m^*(A)-m^*(E)\)

命题

每个区间均可测

推论

所有Borel集均可测

可测集的外逼近与内逼近

\(E\)可测
\(\Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists\)开集\(U\supseteq E,\ s.t.\ m^*(U\setminus E)<\epsilon\)
\(\Leftrightarrow \exists G_\delta\) 集合 \(G\supseteq E,\ s.t.\ m^*(G\setminus E)=0\)
\(\Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists\)闭集\(K\subseteq E,\ s.t.\ m^*(E\setminus K)<\epsilon\)
\(\Leftrightarrow \exists F_\sigma\) 集合 \(F\subseteq E,\ s.t.\ m^*(E\setminus F)=0\)

等测包与等测核

\(\forall E\)（不要求可测）\(\exists G_\delta\)集\(G\supseteq E,\ s.t.\ m^*(G)=m^*(E)\)，此时\(G\)叫做\(E\)的等测包，且能推出当\(E\)不可测时，\(m^*(G\setminus E)>0\)
\(E\) 可测\(\Leftrightarrow \exists F_\sigma\)集\(F\subseteq E,\ s.t.\ m^*(F)=m^*(E)\)，此时\(G\)叫做\(E\)的等测核

Lebesgue 测度定义

限制在 Lebesgue 代数上的外测度称为 Lebesgue 测度，记作\(m(E)\)

对称差定义

\(A\triangle B:=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\) 称为 \(A\) 与 \(B\) 的对称差

定理

\(\forall E\) 可测且 \(m(E)<\infty,\ \forall \epsilon>0,\ \exists\)两两不交的开区间族\(\{I_k\}_{k=1}^n,\ s.t.\ m(E\triangle U)<\epsilon,U=\bigcup_{k=1}^n I_k\)

升列与降列

\(\{E_i\}_{i=1}^{\infty}\) 当 \(\forall i\)，总有 \(E_i\subseteq E_{i+1}\) 时，我们称其为升列；\(\forall i\)，总有 \(E_i\supseteq E_{i+1}\) 时，我们称其为降列

命题

若\(\{E_i\}_{i=1}^{\infty}\)均可测且为升列，则有\(m(\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i)=\lim_{i\rightarrow \infty} m(E_i)\)
若\(\{E_i\}_{i=1}^{\infty}\)均可测且为降列，并且\(m(E_1)<\infty\)，则有\(m(\bigcap_{i=1}^{\infty}E_i)=\lim_{i\rightarrow \infty} m(E_i)\)

推论

\(\{E_i\}\) 可测 \(\Rightarrow m(\liminf E_i)\leq \liminf m(E_i)\)

几乎处处定义

如果一个性质在可测集\(E\)上几乎处处成立，是指其在\(E\setminus E_0\)上成立，\(E_0\subset E\)且\(m(E)=0\)，记作\(a.e.\)

Borel-Cantelli 引理

\(\{E_i\}_{i=1}^{\infty}\)可测，\(\sum_{i=1}^{\infty}m(E_i)<\infty\)，则对\(a.e.\ x\in\R\)，其仅属于至多有限个\(E_i\)

引理

设\(E\subseteq \R\)为有界可测集，若存在有界可数集\(\Lambda\ s.t.\ \{E+\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\)两两不交，则有\(m(E)=0\)

有理等价定义

若 \(x-y\in \mathbb Q\)，则称 \(x\) 与 \(y\) 有理等价

不可测集的存在性

\(\forall E\in R, \mathcal F\) 是 \(E\) 上所有有理等价类的集族
由选择公理知 \(\exists C_E\subset E, C_E\) 由每一等价类中一代表元构成
可知

\(\forall c,d\in C_E, d-c\not\in\mathbb Q\)，即\(\forall \Lambda\subset\mathbb Q, \{C_E+\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\)两两不交
\(\forall x\in E,\exists c\in C_E\) 和 \(q\in\mathbb Q,\ s.t.\ x=c+q\)

此时 \(C_E\) 不可测

Vitali 定理

\(\forall\) 非零测集 \(E\subseteq R\)，均存在不可测集合\(A\subseteq E\)