实变函数笔记20250228

第二章 Lebesgue测度

外测度定义`P31`：

设\(A\subseteq \R\)，\(A\) 的外测度 \(m^*(A):=\inf\{\sum_{k=1}^{\infty}l(I_k);A\subset \bigcup_{k=1}^{\infty}I_k;I_k\)是有限开区间\(\}\)

零测集定义：

外测度为\(0\)的集合称为零测集。

外测度性质：

非负性：\(m^*(A)\geq 0\)
空集的外测度为\(0\)：\(m^*(\emptyset)=0\)
单调性P31：\(A\subseteq B\Rightarrow m^*(A)\leq m^*(B)\)
可数集的外测度为0P31。证明过程见P31

命题 1

区间的外测度等于其长度P31

命题 2

平移不变性P33：
\(\forall A\subseteq \R ,x\in \R , m^*(A+x)=m^*(A)\)

命题 3

可数次可加性P33：
\(m^*(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k)\leq \sum_{k=1}^{\infty}m^*(E_k)\)

推论

Cantor集 \(\mathcal C\) 为零测集：
\(m^*(\mathcal C)=0\)

命题

\(d(E_1,E_2)>0\Rightarrow m^*(E_1\cup E_2)=m^*(E_1)+m^*(E_2)\)

其中 \(d(E_1,E_2)=\inf\{d(p_1,p_2); p_1\in E_1, p_2\in E_2\}\)

可测定义

\(E\subseteq \R\). \(E\) 可测\(\Leftrightarrow \forall A\subseteq \R, m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^C)\)

推论

\(E\) 可测 \(\Leftrightarrow E^C\) 可测
\(E\) 可测 \(\Leftrightarrow E+x\) 可测
\(E_1\) 可测且 \(E_1\cap E_2=\emptyset\) \(\Rightarrow m^*(E_1\cup E_2)=m^*(E_1)+m^*(E_2)\)
\(E\) 可测 \(\Leftarrow \forall A\subseteq \R, m^*(A)\geq m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^C)\)

命题

零测集均可测

命题

\(E_1,E_2\) 可测 \(\Rightarrow E_1\cap E_2, E_1\cup E_2\) 均可测

命题

有限可加性：
\(\{E_i\}_{i=1}^n\)可测且两两不交，则有 \(\forall A\subseteq \R,m^*(A\cap(\bigcup_{i=1}^n E_i))=\sum_{i=1}^n m^*(A\cup E_i)\)

命题

可数可测性：
\(\{E_i\}_{i=1}^{\infty}\) 可测 \(\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty}E_i\)可测

命题

可数可加性：
\(\{E_i\}_{i=1}^\infty\)可测且两两不交，则有 \(\forall A\subseteq \R,m^*(A\cap(\bigcup_{i=1}^\infty E_i))=\sum_{i=1}^\infty m^*(A\cup E_i)\)