实变函数笔记20250221

偏序

$X\not=\emptyset, X$ 上一个关系 $R\subseteq X\times X,$当$R$满足自反、传递、反对称，我们称$R$为一个偏序

默认下文中的$R$均为$X$上的偏序

全序子集

$E\subseteq X,$如果$\forall x_0,x_1\in E,x_0Rx_1\oplus x_1Rx_0$，我们称$E$是$X$的一个全序子集

上界

$\exists x\in X, \forall x'\in E\subseteq X, x'Rx$，我们称$x$是$E$的一个上界

最大元

如果$x\in X, xRx'\Rightarrow x=x'$，我们称$x$为一个最大元 R$为$X$上的偏序，

Zorn 引理

设$X$为一偏序集，如果$X$的每一个全序子集均有上界，则$X$有一个最大元

选择公理

设$\mathcal F$为一族非空集合，则存在一个选择函数，即可从每一集合中选择一个元素

上极限集与下极限集

$\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$为一族集合
其上极限集$\limsup A_n:=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n=k}^{\infty}A_n\Leftrightarrow \exists$无穷多$n\ s.t.\ x\in A_n$
其下极限集$\liminf A_n:=\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{n=k}^{\infty}A_n\Leftrightarrow \exists$有限个$n\ s.t.\ x\not\in A_n$

$\sigma-$代数

$\mathcal A\subseteq 2^X$，若$\mathcal A$满足

$\emptyset \in A$
$A\in \mathcal A\Rightarrow A^C\in \mathcal A$
$\{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq \mathcal A\Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in \mathcal A$

则称$\mathcal A$为一个$\sigma-$代数

Borel 集族

Borel集族$\mathcal B\subseteq 2^\R$为包含所有$\R$中开集的最小$\sigma-$代数

$F_\sigma$与$G_\delta$

$F_\sigma$为可数个闭集的并，$G_\delta$为可数个开集的交

引理

$U\subseteq \R$且为开集，则存在存在至多可数个两两不交的开区间$\{I_k\}$使得$U=\bigcup_k I_k$

Cantor 集

$C_0=[0,1]$
$n\geq 1$递推定义$C_n$为：将$C_{n-1}$每个区间三等分后，留下的左右两个闭子区间。可知$C_n$为$2^n$个长度为$3^{-n}$的闭区间。

Cantor集$\mathcal C:=\bigcap_{n=0}^{\infty}C_n$