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抽象代数第 1 课笔记

1. semigroups, menoids and groups

代数系统

非空集合 \(S\) 的卡氏积（即前文的Cartesian product）是指集合 \(S \times S:=\{(a,b)|a \in S, b\in S\}\).
规定\((a,b)=(a',b') \Leftrightarrow a=a',\ b=b'\).

非空集合 \(S\) 的一个二元运算(binary operation)是指一个映射 \(f:S\times S \rightarrow S,\ (a,b)\mapsto f(a,b)\).

通常把 \(f(a,b)\) 记作\(afb\).当把\(f\)称为乘法时，\(f(a,b)\)就记作\(a\cdot b\)；当把 \(f\) 称为加法时，\(f(a,b)\) 就记作 \(a+b\).

\(S\) 的二元运算的要点是运算的结果仍在\(S\)中.

带有一个或多个二元运算、并且满足特定性质的非空集合称为代数系统，或代数结构.

Definition 1.1. 半群、含幺半群、群与阿贝尔群

A semigroup is a nonempty set \(G\) together with a binary operation on \(G\) which is
associative: \(a(bc)=(ab)c\ \mathrm{for\ all}\ a,b,c \in G\)
集合 \(G\) 和 \(G\) 上满足结合律的二元运算\(\cdot\)所形成的代数结构叫做半群。

A monoid is a semigroup \(G\) which contains a
(two-sided) identity element \(e \in G\) such that \(ae=ea=a\ \mathrm{for\ all}\ a \in G\).
设 \(G\) 为半群，对于每个\(a \in G\)，存在\(e \in G\)，使得\(ae=ea=a\)，则称 \(e\) 为半群 \(G\) 的幺元素，记作\(e\)或\(1_G\). 具有幺元素的半群叫含么半群。

A group is a monoid \(G\) such that
for every \(a \in G\) there exists a (two-sided) inverse element \(a^{-1} \in G\) such that \(aa^{-1}=a^{-1}a=e\).
设 \(G\) 为含幺半群，元素 \(a^{-1} \in G\) 叫做元素 \(a \in G\) 的逆元素，是指\(aa^{-1}=a^{-1}a=e\).
如果含幺半群 \(G\)的每个元素均可逆，则 \(G\) 叫做 群.

A semigroup \(G\) is said to be abelian or commutative if its binary operation is
commutative: \(ab=ba\ \mathrm{for\ all}\ a,b \in G\).
运算满足交换律的半群叫做交换半群
运算满足交换律的群叫做交换群或阿贝尔(Abel)群

The order of a group \(G\) is the cardinal number \(|G|\). \(G\) is said to be finite [resp. infinite] if \(|G|\) is finite [resp. infinite].
若群 \(G\) 作为集合是有限集，则 \(G\) 称为 有限群，否则称为无限群。 将 \(G\) 中所含元素的个数记为 \(|G|\)，称为群 \(G\) 的阶。

Theorem 1.2. 群的性质

If \(G\) is a monoid ,then identity element \(e\) is unique.
如果半群 \(G\) 有幺元素 \(e\)，则它是唯一的。

If \(G\) is a group, then

  1. \(c \in G\ \mathrm{and}\ cc=c \Rightarrow c=e\);
  2. for all \(a,b,c \in G,\ ab=ac \Rightarrow b=c\) and \(ba=ca \Rightarrow b=c\) (left and right concellation); 左/右消去律
  3. for each \(a \in G\),the inverse element \(a^{-1}\) is unique;
    \(G\) 中任意元 \(a\) 的逆元是唯一的。
  4. for each \(a \in G,\ (a^{-1})^{-1}=a\);
  5. for \(a,b \in G,\ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\); 穿脱原理
  6. for \(a,b \in G\) the equations \(ax=b\) and \(ya=b\) have unique solutions in \(G:\ x=a^{-1}b,\ \mathrm{and}\ y=ba^{-1}\).

一些群的例子

全体 \(n\) 阶可逆复方阵构成乘法群，叫做复数上的 \(n\) 次 一般线性群. 表示成 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\). 同样有群 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\)等。
实数域 \(\mathbb{R}\) 上所有行列式为 \(1\) 的 \(n\) 阶矩阵作成的集合 \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})\) 对于矩阵的乘法构成群。 称其为实数上的 \(n\) 次 特殊线性群。
所有的 \(n\) 阶正交阵作成的集合 \(\mathrm{O}_n\) 对于矩阵的乘法构成群，称其为 \(n\) 次正交群。
所有行列式为 \(1\) 的 \(n\) 阶正交阵作成的集合 \(\mathrm{SO}_n\) 对于矩阵的乘法作成群，称其为 \(n\) 次特殊正交群。
所有的 \(n\) 阶酉矩阵作成的集合 \(\mathrm{U}_n\) 对于矩阵的乘法作成群，称其为 \(n\) 阶酉群.
所有行列式为 \(1\) 的 \(n\) 阶酉阵作成的集合 \(\mathrm{SU}_n\) 对于矩阵的乘法作成群，称其为 \(n\) 次特殊酉群。

设 \(n\) 是正整数. 对于任意整数 \(i\)，用 \(\bar{i}\) 表示整数集 \(\mathbb{Z}\) 的子集
\(\bar{i}:=\{kn+i|k \in \mathbb{Z}\}\)
称为（i所在的）模\(n\)的剩余类（residue class）。
用 \(\mathbb{Z}_n\) 表示所有的模 \(n\) 的剩余类的集合，易知 \(\mathbb{Z}_n=\{\bar{0},\bar{1},\dots,\overline{n-1}\}\)
定义 \(\mathbb{Z}\) 上的加法 \(\bar{a}+\bar{b}:=\overline{a+b},\ \forall a,b \in \mathbb{Z}\). 可以验证该定义为良定的（well-defined），即这个定义与代表元的选择无关。

proof

若 \(\bar{a}=\bar{a'},\ \bar{b}=\bar{b'}\)
则有 \(n|(a-a'),\ n|(b-b')\)
\(\Rightarrow n|[(a+b)-(a'+b')]\)
\(\Rightarrow \overline{a+b}=\overline{a'+b'}\)

易证 \((\mathbb{Z}_n,+)\) 是 \(n\) 阶 Abel 群，称之为模 \(n\) 的剩余类加群。

Proposition 1.3. 群的单边定义

Let \(G\) be a semigroup. Then \(G\) is a group if and only if the following conditions hold:

  1. there exists an element \(e_l \in G\) such \(e_la=a\) for all \(a \in G\) (left identity element);
    在一个半群 \(G\) 中，一个元 \(e_l \in G\) 称为 \(G\) 的 左单位元，如果 \(e_la=a,\ \forall a \in G\).
  2. for each \(a \in G\), there exists an element \(a_l^{-1} \in G\) such that \(a_l^{-1}a=e_l\) (left inverse).
    设半群有左单位元 \(e_l\)。对于元 \(a \in G\)，如果存在 \(a_l^{-1} \in G\) 使得 \(a_l^{-1}a=e_l\) ， 则称元 \(a\)（相对于 \(e_l\)）有左逆元，将 \(a_l^{-1}\) 称为 \(a\) 的左逆元。

设 \(G\) 是半群，则 \(G\)是群 \(\Leftrightarrow\) \(G\)有左单位元，且任一元均有左逆元。

proof

\((\Leftarrow)\) 显然。
\((\Rightarrow)\)

\[ \begin{aligned} aa_l^{-1} &= e_l(aa_l^{-1}) \\ &= ((a_l^{-1})_l^{-1})(aa_l^{-1}) \\ &= (a_l^{-1})_l^{-1}(a_l^{-1}a)a_l^{-1} \\ &= (a_l^{-1})e_lg_l^{-1} \\ &= (a_l^{-1})_l^{-1}a_l^{-1} \\ &=e_l \end{aligned} \]
\[ \forall a \in G,\ ae_l=a(a_l^{-1}a)=(aa_l^{-1})a=e_la=a. \]

Proposition 1.4. 半群成群的充要条件

Let \(G\) be a semigroup. Then \(G\) is a group if and only if for all \(a,b \in G\) the equations \(ax=b\) and \(ya=b\) have solutions in \(G\).

有限半群成群的充要条件

设 \((G,\cdot)\) 是有限半群。则 \((G,\cdot)\) 是群 \(\Leftrightarrow\) (G,\cdot) 满足左消去律和右消去律。

证明详见PPT。